商标侵权的处罚标准主要包括以下几个方面：
一、行政处罚
责令停止侵权行为：
工商行政管理部门在认定侵权行为成立后，会责令侵权人立即停止侵权行为。
没收、销毁侵权物品：
侵权商品和主要用于制造侵权商品、伪造注册商标标识的工具会被没收并销毁。
罚款：
违法经营额五万元以上的，可以处违法经营额五倍以下的罚款。
没有违法经营额或者违法经营额不足五万元的，可以处二十五万元以下的罚款。
对五年内实施两次以上商标侵权行为或者有其他严重情节的，应当从重处罚。

二、刑事处罚
如果商标侵权行为构成犯罪，将移送公安机关追究刑事责任。具体刑罚包括有期徒刑、拘役、罚金等，根据侵权行为的严重程度和犯罪情节来确定。
三、民事赔偿
赔偿数额的确定：
侵犯商标专用权的赔偿数额，按照权利人因被侵权所受到的实际损失确定。
实际损失难以确定的，可以按照侵权人因侵权所获得的利益确定。
权利人的损失或者侵权人获得的利益难以确定的，参照该商标许可使用费的倍数合理确定。
恶意侵犯的加倍赔偿：
对恶意侵犯商标专用权，情节严重的，可以在按照上述方法确定数额的一倍以上三倍以下确定赔偿数额。
赔偿范围：
赔偿数额应当包括权利人为制止侵权行为所支付的合理开支。

四、其他处罚措施
责令停止销售：
销售不知道是侵犯注册商标专用权的商品，但能证明该商品是自己合法取得并说明提供者的，由工商行政管理部门责令停止销售。
信用惩戒：
侵权行为可能会被记入信用记录，对侵权人的信用造成不良影响。
对于跨境电商商标侵权，存在一些特殊性和复杂性，但基本的处罚原则和标准仍然适用。同时，跨境电商平台也可能根据自身的规定和政策对商标侵权行为采取一定的处罚措施，如限制账号权限、下架侵权商品、TRO冻结账户资金等。
综上所述，商标侵权的处罚标准包括行政处罚、刑事处罚和民事赔偿等多个方面。在实际操作中，需要根据侵权行为的性质、情节和后果等因素来综合考虑和适用相应的处罚措施。同时，加强商标保护意识，积极维护自己的合法权益也是非常重要的。